数と音楽 坂口 博樹(大月書店)
1.リズムの語源
(1)古代ギリシャ語のリュトモス（rhuthmos：ものの形）、リーイン（rheein：流れる）
(2)流れていくものの形
(3)常に変動するエネルギーの繰り返し（パルス、テンポのような単調な繰り返しでない）
2.均等と不均等
(1)通常の８分音符の連続（イーブン）
１：１の均等分割（正方形のイメージ）
(2)拍頭の８分音符を少しずつ長くしていく（不均等分割：長方形のイメージ）
①√2：１≒1.4：1
ジャズなどテンポが早くなるとこれくらいでスイングしている
②２：１（通常のシャッフル）〜３：１
サンバのリズム
→実際は2拍目がズレる（わずかに遅れる）などあり、単純に数値化できない
3.音階
(1)ヨナヌキ（呂旋法）：ドレミソラ
(2)雅楽、民謡（律旋法）：ソラドレミ
(3)江戸都節：ミファラシド
(4)琉球音階（沖縄民謡）：ドミファソシ
4.音階と月
(1)ファから数えると大の月（31日）が白鍵、小の月（30日以下）が黒鍵
(2)白鍵：ファ（１月）ソ（３月）ラ（５月）シ（７月）ド（８月）レ（１０月）ミ（１２月）
(3)黒鍵：ファ♯（２月）ソ♯（４月）ラ♯（６月）ド♯（９月）レ♯（１１月）
5.ピタゴラス音律
(1)5度を12回繰り返すと最初の音に戻る（サークルオブフィフス）
ド→ソ→レ→ラ→ミ→シ→ファ♯→ド♯→ソ♯→ミ♭（レ♯）→シ♭（ラ♯）→ファ→ド
(2)ピタゴラスコンマ
①5度上げ(3/2)を12回やって、7オクターブ(1/2)下げると、ほぼ元の音に戻る
②正確には(3/2)12乗×(1/2)7乗＝1.0136...となり、約0.136ズレる
6.倍音
(1)倍音は無限に続くが、実際は高くなるほど聴こえなくなる
ラ（ギター五弦開放弦）の2倍音（ラ）、3倍音（ミ）、4倍音（ラ）、5倍音（ド♯）、6倍音（ミ）・・・
(2)基音のラを110Hzとすると、周波数は110n（例：4倍音なら110Hz×４=440Hz)
7.音律
(1)１：２がオクターブ、２：３が５度（ド→ソ）、３：４が４度（ソ→ド、ド→ファ）
(2)４：５が長三度（ド→ミ）、５：６が短三度（ド→ミ♭）
ピタゴラス音律(ド→ソ→レ→ラ→ミ)だと(3/2)4乗=81/64≒1.27であり、5/4=1.25より少し高い音になる
(3)純正律
①1（ド）、9/8（レ）、5/4（ミ）、4/3（ファ）、3/2（ソ）、5/3（ラ）、15/8（シ）、2（ド）
②半音階は１５：１６で統一されるが、全音階が８：９（ド→レ）と９：１０（レ→ミ）がありギクシャク
(4)平均律
①１オクターブ（１：２）を均等に12分割（相乗平均）するため、２の(1/12)乗（約1.059）
②ラの半音上シ♭はラより約1.059音が高い（440Hz×２の(1/12)乗=466Hz)
③純正律のドミ（３度の和音）は、ドを520Hzとすると４：５でミは520Hz×5/4=650Hzに対し、
平均律は520Hz×2の(4/12)乗≒655Hzと少し高くなり、ドミの和音に濁りがある
